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“相交线、垂线”教材分析

时间:2019-02-16 11:41:47 点击:

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“相交线、垂线”教材分析

1.本课件主要内容是相交线,先讲两条直线相交,再讲两条直线相交的最重要的特殊情况---两条直线垂直.由于两条直线相交的不同位置可以通过它们所成的角来反映,因此教材是从对顶角和邻补角的概念出发来研究相交线的,研究是围绕它们的画法和性质展开的.

本课件的重点是对顶角的性质和垂线的概念,这些基础知识今后学习常常用到,必须要求学生掌握.本课件知识间的关系如下表:

2.对顶角是一个很重要的概念.关于对顶角的定义,教材是结合图形来描述的:如图1,直线ABCD相交于O点,∠1和∠3的两条边互为反向延长线,像这样的两个角叫做对顶角.

此定义还可以叙述为:“两条直线相交得到的四个角中,有一个公共顶点,没有公共边的两个角叫做对顶角.”或“一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.”无论是哪一种定义,都同样抓住了对顶角这个概念的本质特征:一是两个角有公共顶点;二是两个角的边互为反向延长线,因此说明只有两条直线相交才能产生对顶角.

3.关于邻补角的概念,教材也是结合图形描述性地给出的,不过不要使学生误认为只有两条直线相交才能得到邻补角.实际上如果一条直线与射线相交,射线的端点在直线上,也可得到一对邻补角.如图2中直线AB与射线OC相交于直线AB上一点O,∠1和∠2就是邻补角.因此,对于邻补角的概念要抓住其本质特征:一是有公共顶点;二是有一条公共边;三是另一边互为反向延长线.

4.“对顶角相等”这是一个很重要的性质,今后经常会遇到.无论在什么样的图形中,只要出现对顶角,则它们的大小就一样,可以用等号连接起来.利用对顶角相等这个性质来证明两个角相等是一种常用的方法.

要注意的是,不能把对顶角的定义与性质混淆起来.对顶角的定义是说明两个角的相互位置的,而“对顶角相等”则是说明两个角的数量关系的.当然,它们之间是有联系的,只有当用定义判定出两个角是对顶角时,才能说这两个角具有“相等”的数量关系.如图3,已知直线ABCD交于O,则可判定∠AOC、∠BOD是对顶角,这是根据定义得来的.又因∠AOC,∠BOD是对顶角,则可得∠AOC=BOD,这是根据“对顶角相等”的性质得来的,即:

 直线ABCD交于O点,

 AOC和∠BOD是对顶角(对顶角定义)

 AOC和∠BOD是对顶角,

 AOC=BOD(对顶角相等)

由此可见,“对顶角定义”和“对顶角相等”是两回事,不能混为一谈,教学时务必让学生弄清这一点.

关于“对顶角相等”这个定理的教学,应首先让学生通过观察图形,思考“对顶角在数量上有什么关系”这个问题,待作出猜想后再进行证明.

要证明两角相等,这对于刚学习推理证明的学生来说并非易事.教学时要引导学生回忆至今为止已经学过的关于两个角相等的定理,使学生自己联想到“同角的补角相等”这个定理,从而受到启发获得证明的思路.可先结合图形用文字语言叙述推理过程,然后再“翻译”成符号语言的几何推理格式.要特别注意使学生明确每一步推理的根据.

 已知:直线ab相交,∠1=40°(如图),求∠2、∠3、∠4的度数.此例题是一个计算题,安排这个例题的目的一方面是通过应用来巩固相交线的有关概念和性质;另一方面是对学生进行推理格式的训练.对于题目要求的角的度数,学生可能很快就能心算出来,但要要求他们说出每一步计算的根据,这样才能达到巩固相交线中有关概念及其性质的目的.对于整个题目的解答过程的书写,多数学生都会感到困难,教师要首先分析思路,然后再教给学生如何按照解题思路将一个个的推理按顺序一步步地用符号语言表达出来.在学生练习时要注意纠正他们书写中出现的各种错误.这一阶段学生作业中的问题也会很多,应注意归纳整理,利用课堂时间进行订正.

5.我们知道,可以利用两条直线相交所成的角的大小来说明两条直线相交状况之间的差异.但是,两条直线相交一共构成四个角,究竟用哪一个角来说明相交状况的差异呢?

两直线相交所成的四个角(4)中,任意两个角都具有特定的位置关系,如∠1和∠2、∠3和∠4是对顶角,∠1和∠3、∠2和∠3、∠2和∠4、∠4和∠1均为邻补角.根据对顶角相等的定理和邻补角的定义,在这四个角中,无论知道哪一个角的大小,

20°,∠AOC=BOD=160°.特别地,在这四个角中,当其中一个角是90°时,其余三个角也都是90°.因此,无论用四个角中的哪一个角来说明两条直线相交状况的差异都是可以的.

6.垂线是两条直线相交的特殊情况,它是平面内两条直线间的一种重要的位置关系.教学时应启发学生自己来定义“两条直线互相垂直”,特别注意纠正学生容易出现的“当两条直线相交所成的四个角都是直角时,叫做这两条直线互相垂直”这类错误.学生的语言可能也不规范,但只要能用自己的语言正确地表达出概念的内涵就可以了,这样有助于培养学生的抽象概括能力,但如采取教师直接抛出定义的教法,则无助于学生能力的培养.

分析垂直定义时,要让学生抓住概念的三要素:两条直线;相交;一个角是直角.同时应当使学生弄清“互相垂直”与“垂线”的关系:“互相垂直”是说两条直线的位置关系,而“垂线”是其中一条直线对另一条直线的称呼,这是二者的区别;两条直线“互相垂直”时,其中一条必是另一条的“垂线”;反之,如果一条直线是另一条的“垂线”,这两条直线必定“互相垂直”,这是二者的联系.在应用时二者没有严格的区分.如已知直线AB垂直直线CDO点,可推出∠AOD=Rt∠;若知ABCD的垂线,同样也可推出∠AOD=Rt∠.

两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况,因此在题目中遇到两条线段互相垂直、两条射线互相垂直,都是指它们所在的直线互相垂直.所以过一点作线段(或射线)的垂线时,垂足可能在线段(或射线)上,也可能在线段的延长线(或射线的反向延长线)上.

7.垂线的画法属技能的训练,教学时应首先要给出用三角板画垂线的三个步骤:一贴、二过、三画.教师按照步骤向学生进行示范,然后学生根据步骤进行练习.练习中要特别注意变式练习,即P点在相对于直线l的各种不同位置上,过P点画直线l的垂线,这样才能使学生逐步达到熟练程度,以形成技能.

8.垂线有两个性质,第一个性质是:“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.”说的是垂线的存在性和唯一性,这是垂线作图的保证;垂线的第二个性质是:“垂线段最短”.它是定义“点到直线距离”这个概念的依据.教材中没有证明垂线的这两个性质,实际上是在小学学习的基础上,通过实验直观地得出来的.其实这两个性质是可以证明的,只是考虑到学生目前难于接受,让他们直观承认就可以了.因此没有冠以“定理”之名,也没有把它们扩大为“公理”,而只是称其为“性质”,逻辑证明留待今后学生自己去解决.关于“过直线外一点的垂线的唯一性”和“垂线段最短”在附录中给出了证明,仅供教师参考.

在进行垂线存在性和唯一性这个性质的教学时,可结合“一条直线可以有多少条垂线?”让学生思考,待学生回答出:“可以有无数多条”之后,再继续提出问题:“如果限定直线的垂线必须过一已知点,那么这样的垂线又有几条?”然后让学生动手画图,通过实验来回答这个问题.即不管谁来画,都可以而且只可以画出一条垂线.同时还可利用相交线教具(5),让学生观察转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?加深学生对垂线唯一性的认识.

垂线段的概念和垂线段最短的性质,是定义“点到直线距离”这个概念的依据.由于从直线外一点到这条直线的垂线是唯一的,又由垂线段最短,它的长度也是唯一的,因此保证了点到直线距离的唯一性.教学时要特别注意区别“垂线段”和“垂线段的长度”.前者是一个图形,而后者则是一个数量.要强调点到直线距离是一个数量,是指该点到直线的垂线段的长度,而不是垂线段.要注意纠正学生“作出点到直线的距离”这类错误.

建立了点到直线的距离这个概念之后,我们可对学生指出:在几何中借助于两点间的距离,我们可以用数值(线段的长度〕精确地刻划两个点相互位置关系;借助于角,我们可以用数值(角的大小)精确地刻划两条相交直线的相互位置关系;借助于点到直线的距离,我们可以借助于数值精确地刻划一个点和一条直线相互位置关系.

9.教学时教师应放手让学生自己活动,可展开讨论,互帮互学.只要求学生能够正确地画出图形即可,关于垂线的作法下面介绍两种,但不必要求学生都会.

过直线l上一点Pl的垂线的具体作法是:

(1)P为圆心,以任意长为半径画弧,交lAB两点;

 

交于C点;

(3)PC两点作直线.

PC就是所求的直线l的垂线(如图6(1))

过直线l外一点Pl的垂线的具体作法是:

(1)l的另一旁任取一点D

(2)P为圆心,PD为半径画弧,交lAB

 

点;

(4)经过PC两点作直线.

PC就是所求的垂线(如图6(2))

作线段AB的垂直平分线的具体作法如下:

弧,相交于CD

(2)CD两点作直线(如图7)

CD就是所求的线段AB的垂直平分线.

CDAB交于O点,O就是线段AB的中点,因此上述作法也就是作线段中点的方法.

10.在本大节教学结束之时,可对本单元研究的内容和方法作一些归纳和总结:

本大节主要研究两条直线相交,特别是垂直的位置关系,其研究的方法是通过研究两条直线相交所构成的四个角之间的关系来进行的.具体地说,如果两条直线相交,那么它们所构成的四个角之间具有如下的一些关系:邻补角互补;对顶角相等;四个角中只要已知一个角的大小,就可以推算出其他三个角的大小.反之,如果某些角具有与上述类似的关系的话,那么它们是两条相交直线构成的角.事实上,如图8,若已知AOB为一直线,且∠AOD=BOC,则COD三点共线,即COD也是一条直线.其证明过程是:

 AOB为一直线(已知)

 AOD+DOB=180°(邻补角定义)

 AOD=BOC(已知)

 COB+BOD=180°(等量代换)

 COD为一平角,即COD为一直线(平角定义)

特别地,当两条直线互相垂直时,所成的四个角都是直角.反之,若两条直线相交,其中一个角是直角(此时其余三个角实际上也都是直角)时,两条直线互相垂直.

概括以上所述,即从两直线的位置关系推出有关角之间的关系,反之,从有关角之间的关系去判定两直线的位置关系,这不仅是研究相交线、垂线的方法,也是研究平行线的方法.

11.要利用习题对学生进行推理格式的训练,对于要求回答“为什么”的习题,要求学生试着用推理证明的格式写出来.对于计算题,学生一般不难得出正确答数,但关键是要求他们用推理格式写出计算过程,这对于他们来说,现阶段会有相当的困难,教师要随时指导和纠正错误,对于学习有困难的学生要加强个别辅导,对于学习较好的学生要让他们多做一些习题.习题可分散在整个相交线、垂线这一部分的每个学时中,使学生在一段较长的时间中逐步掌握推理的书写格式,为下面平行线的教学作准备.

 
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