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如何解释“圆有无数条半径”

时间:2017-07-10 15:02:54 点击:

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在一次教学研讨活动上,齐华执教了《认识圆》一课。课后,由我主持现场互动,和齐华一起回答现场教师的短信提问。在我挑了几条短信请齐华回答后,齐华杀了个回马枪,他挑了一条短信,说:“这个问题一定要请洪杰回答。” 
       屏幕上打出编号为32的短信: 
       圆上有无数个点,有无数条半径,无数条对称轴,有没有更哲理的叙述?有限的周长上能画出无限多的点么? 
       这个问题的根源或许源于这样的一个事实: 
       1.圆上有无数个点,有无数条半径,无数条对称轴,这是公理一样的存在,一线教师都不会反对。 
       2.现实中画的圆周长总是有限的,而点的点再小也要占据大小,现实中不要说画无数条对称轴,在一个不大的圆上,就是画100条对称轴,也已是就黑乎乎一片了。 
       1、2之间的矛盾让人产生了“有限的周长上能画出无限多的点么”这样的疑问。 
       必须强调,无限是不可在现实世界以“眼见为实”或“摸一摸”“画一画”这样的方式进行实证和感知的,但人的思维却可以想象无限。“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这其中有无限的思想。“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”,这其中有无限的韵味。但无限是什么,不可实证和直接感知。因此,以实证的方式去验证无限,只能落得个“此恨绵绵无绝期”的结局!换言之,因为圆有无数条半径,就要去画画看,以这种实证的方法来验证无限,本就是缘木求鱼、南辕北辙。在现实中,你能画出一根没有宽度的线吗?同样,在现实中,你能在圆上点上一个没有大小的点吗? 
       然而,问题在于,既然不能实证和感知,只能想象,我们何以确信结论是可靠的?或者说,当我不能想象的时候怎么办?有更好的方法直观说明吗?其实,数学中有的无限是很容易想象的,比如自然数是无限的,可以一直加上“1”(皮亚诺公理体系)。可双曲线中的无限接近就有点难办了,因为照此推论,只要乌龟先出发,兔子是永远追不上的——只要我们认为连续的时间和空间是无限可分的。而上述的诗词佳句,只能传达出无限的韵味,而对韵味的体验,实在是因人而异,不可强求的。因此,有的无限很直观,有的无限却很麻烦。 
这些想法,写下来长篇累牍,但在现场却是在脑海中是一闪而过的。我接过齐华的话头,就向现场老师抛出了一个问题:“三角形中有角吗?” 
       齐华说:“你这么问,大家都不敢回答了,都知道你话里有话。” 
       我说:“三角形中没有角,因为角是由顶点和射线组成的,三角形中连射线都没有,哪来的角啊!” 
       我又问:“两条直线相交于一点,对吧?” 
       顿了顿之后,我接着说:“可是,点是不占任何空间的,两条直线不就相交于一个在空间中不存在的虚无之地了吗?” 
       看着现场的老师若有所思,我继续说:“如果我们盯着局部,那在图形和空间领域经常会出现数学定义和现实的模型产生矛盾的现象。为什么呢?几何中的种种概念都是抽象的,而现实中的模型总会带有物理性质,比如大小、粗细、长短、厚薄。其实,真正重要的是几何元素之间的整体关系,好像是希尔伯特说的,把点、线、面定义成杯子、桌子都无关紧要的。因此,我们看问题要超越现实模型必然带有的物理性质,整体地去把握关系。” 
       说了这么多,我其实是在动用第一招:你的问题本身就有问题。当然,这样反馈有扯开话题、避实就虚的嫌疑,但我说的这些话,却也是真的想和教师们说的,因为,当我们站位更高的时候,很多问题是可以俯瞰的。恰如1884年出版的小说《平面国》里所描述的,三维国的球一眼就能看出二维国中所有国民的形状,二维国中的正方形能一眼看出一维国中线段的长短,而一维国和二维国的国民却无法看清自己的全貌。 
       让别人改变看问题的方式,这是有点强人所难的,于是,我马上补上接地气的一招:现场演示,借物说理。 
       我请现场上千位教师想象这样一个过程:画一个边长是2cm的正三角形,再连接两边中点,画它的中位线,中位线是1cm;在底边任选一点和顶点相连,那么连线必定和中线相交于一点(现场教师都表示同意,因为这是显然的);既然都会和中线相交,那么2cm长的底边和1cm长的中线上的点可以建立一一对应关系(现场教师又都表示同意);所以,2cm的线段和1cm的线段上的点一样多! 
       一番推论下来,看上去无懈可击。齐华也说:“哎——,有道理!” 
可是,这就可以用来说明有限周长上能画出无限多的点了吗?其实,我是想告诉现场的老师,有限的周长上点是可以无限增加的,因为前面“画图”的过程已经证明,即便是1mm长的线段,它的点也和2cm长的线段一样多。 
       “点的多少和长度无关,既然无关,有限的周长上当然可以有无限多个点了!谢谢!”我赶紧收了尾! 
       齐华点评说:“如果让我来说,我只能说到你的一半。” 
       呵呵!看来,我的回答也算是自圆其说了。其实齐华不知道,我也是内心忐忑的,不知道是否说清楚了没有。——每次和齐华互动,我们都相互给对方抛难题。 
       在当天晚上,活动结束后,主持了两天活动的我神经松弛下来,突然意识到下午的回答其实还差临门一脚。其实,顺着原来的思路可以回答得更完整: 
       1.既然等边三角形中线和底边上的点一样多,那么等边三角形变成相应的扇形,短弧和长弧上的点也是一样多的。(化直为曲) 
       2.6个这样的扇形不就是一个圆了吗?那么,对一组同心圆而言,内圆和外圆尽管周长不同,但显然点也是一样多的。(补缺为全) 
       3.既然外圆和内圆的点一样多,当在现实中因为画了100条直径而无法再画的时候,只要在这个圆外面画一个更大的同心圆,延长原来画的直径就可以继续画了。也可以连接圆心和大圆上的一点画直径,经过原先小圆的部分,就是可以增加的直径。(眼见为实) 
       4.“是否真的能画出无限多的点”或者“是否真的能画出无数条半径”的追问转化成“能否画出(想象出)一个更大的同心圆”的问题,显然,后面这个问题直观多了。宇宙有多大,你想象的半径就可以有多大,你随意在纸上点的那个点,都可以使宇宙的中心!(转化,在现实与想象之间穿梭) 
       当然,这个问题怎么解释,自然可以有不同的方法,比如,学生自己就会说画好一条半径然后移动0.00000000000…………1°就是另外一条半径。 
       我始终坚持,有些道理与其教师说给学生听,不如让学生说给学生听。在课堂上,学生自己做出的解释理应优先于教师的说明,因此,本文的方法,权当是一个小小的补充。 
       不知这样算不算解答了这个疑问,读者诸君,您觉得呢?

   当代教育家研究院  陈洪杰

 
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