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直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤

时间:2017-07-06 17:28:14 点击:

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直线和圆锥曲线的关系

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况,

从几何角度可分为三类:有两个相异公共点,仅有一个公共点及无公共点。

其中直线和椭圆比较好判断,根据公共点个数就可以完成判断。相交于两个公共点点;相切于一个公共点;没有公共点点即相离。但另外两种情况要注意:
(1)对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;
(2)对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题,都可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题,从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是:
step1:根据题意讨论直线的斜率存不存在。
这个是大多数学生会忽略的过程,丢分很严重。一般的直线的斜率不存在则直线垂直于x轴,属于特殊情况讨论;若存在的话就利用点斜式给出直线方程;

step2:联立直线和曲线的方程组;
step3:消去一个未知数(y或x)得出和一个未知数(x或y)有关的一元二次方程;(一般习惯消去y得到和x有关的一元二次方程)
这个步骤我们的同学错误主要集中在方程待定系数和未知数分不清,分母不预先处理等导致带入消元速度慢,字母多导致化简过程错误多等。丢分比较严重。这个环节一错后面等于白写,一切归于零。今天重点谈谈如何快速有效的联立化简得出只和一个未知数有关的一元二次方程。
详细请看后续文章

step4:得出一元二次方程的判别式;
根据判别式符号来决定上述方程根的个数,由根的个数决定直线和曲线的位置关系。反之也可以由直线和曲线的位置关系来决定方程根的个数进而决定判别式的符号。
step5:利用二次方程韦达定理;
这一步主要是给出两根之和和两根之积(也就是横坐标之积与横坐标之积)的结果。
step6:相应公共点每一个点的纵坐标一般要转化成横坐标;
主要是利用直线方程转化,结合题目实际计算出相应纵坐标之和与纵坐标之积。

step7:确定相应范围
一般涉及到题目曲线中x,y,k(斜率)的取值范围
step8:确认解题目标
一般有:弦长,面积;中点(往往又和中心对称有关系),垂直(往往又和轴对称有关系),角度,向量,范围等等,把他们尽快的转化了与公共点横纵坐标有关,根据题意列出相关关系(等式或不等式)讨论出结论

 
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